Διαδικασία Ζύμη: Σε ένα μπολ βάζουμε το γιαούρτι, το λάδι, το βούτυρο, το νερό, το ξίδι, το αλάτι και το μπέικιν πάουντερ, τα ανακατεύουμε με έναν αυγοδάρτη και μετά ρίχνουμε λίγο-λίγο το αλεύρι ζυμώνοντας με τα χέρια έως ότου γίνει ένα μαλακό ζυμάρι (μπορεί να μην το πάρει όλο). Το σκεπάζουμε με μια βρεγμένη πετσέτα και το αφήνουμε να «ξεκουραστεί» για 15 - 20 λεπτά.

Γέμιση: Σε μια κατσαρόλα ζεσταίνουμε το λάδι σε μέτρια φωτιά και ρίχνουμε τη μελιτζάνα, το κολοκυθάκι, την πατάτα, το κρεμμύδι, την πιπεριά και τα μανιτάρια. Αλατοπιπερώνουμε και σοτάρουμε ανακατεύοντας μέχρι να εξατμιστούν τα υγρά και να μαλακώσουν ελαφρώς. Η πατάτα θα μισοψηθεί στα υγρά που θα βγάλουν τα λαχανικά. Στη συνέχεια προσθέτουμε την ντομάτα, το μαϊντανό και το αλατοπίπερο, ανακατεύουμε, μαγειρεύουμε για 2 - 3 λεπτά και αποσύρουμε. Αφήνουμε το μείγμα να κρυώσει, ρίχνουμε το τυρί και ανακατεύουμε.

Πίτα: Προθερμαίνουμε το φούρνο στους 170 °C. Σε μια ελαφρώς αλευρωμένη επιφάνεια ανοίγουμε τη ζύμη με τον πλάστη ή με τα χέρια σε χοντρό μακρόστενο φύλλο πάχους περίπου 1½ εκ., απλώνουμε στο κέντρο και κατά μήκος του φύλλου τη γέμιση, γυρίζουμε τις άκρες του φύλλου προς τα μέσα, τυλίγουμε σε μακρόστενο ρολό και με ένα πινέλο το αλείφουμε με τον αραιωμένο κρόκο. Λαδώνουμε ένα ταψί, βάζουμε μέσα το ρολό και το ψήνουμε για περίπου 30 λεπτά ή μέχρι να ψηθεί καλά, πάνω - κάτω. Αφήνουμε την μπουγάτσα να κρυώσει ελαφρώς προτού το σερβίρουμε.